信息的最小单位是比特（bit），它只能表示两种状态：0 或 1。 1.简洁性 2.直接与硬件映射 3.易于扩展 4.内存效率

多个比特被组合在一起形成字节（byte），通常一个字节由8个比特组成。 1B=8b 多个字节组成一个字。

最低有效位 表示最右边的一位，最高有效位 表示最左边的一位。 MIPS 的字有 32 位 ，如果要存储1011。那就是： 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1011（高位补0）

计算机硬件设计使得其能够高效地执行基于二进制的加法、减法、乘法、除法以及其他逻辑操作，所有这些都直接对应于底层电路中的电子信号的变化。这些基础操作构成了现代计算机计算能力的核心。

整数进制转换 二进制：1111011 十进制：123

二进制转换为十进制：逐位乘以2的幂次方求和。
十进制转换为二进制：除2取余法

计算机硬件设计使得其能够高效地执行基于二进制的加法、减法、乘法、除法以及其他逻辑操作，所有这些都直接对应于底层电路中的电子信号的变化。这些基础操作构成了现代计算机计算能力的核心。

为了表示正数和负数，计算机程序使用了一种称为“符号和幅值”（sign and magnitude）的表示法，即原码： 高位（通常是第一位或最左边的位）用作符号位，0表示正数，1表示负数。其余位表示数值的幅值（即绝对值）。

例如：占8位的二进制数： 9D： 0000 1001B -9D：1000 1001B

固定位数（n+1位）的原码范围：

[-(2n-1), (2n-1)]

0的原码表示有两种：0000 0000 和 1000 0000

当运算的结果超出了该数据类型能够表示的范围时，就会发生溢出。（计算机内部一般用补码存储数据，稍后讨论）

原码加减法：与十进制一样，考虑进位和借位。

注：在原码加减运算中，对于两个不同符号数的加法(或同符号数的减法)，先要比较两个数的绝对值大小，然后用绝对值大的数减去绝对值小的数，最后还要为结果选择合适的符号。

原码表示法的优点： 原码表示的优点是，与真值的对应关系直观、方便,因此与真值的转换简单,并且用原码 实现乘除运算比较简便。

原码表示法的缺点： 0的表示不唯一,给使用带来不便；加减运算比较复杂，要考虑溢出、负借位等等问题

为了简化硬件设计并解决这些问题，现代计算机更倾向于使用二进制补码（two’s complement）的方式来表示有符号整数。 二进制补码不仅解决了正负数的区分问题，还使得加减运算能够通过相同的硬件电路实现，同时有效地处理了溢出情况，并消除了正负零的问题。

补码的定义:具有一位符号位和n-1数字位的二进制整数x来说 其补码是: [x]补 = 2^n + x(mod 2^n) -2^(n - 1)<= x < 2^(n - 1)

补码表示正数和负数： 1.正数：与其原码相同，即最高位（符号位）为0，剩余各位表示数值的绝对值。 例如，十进制正数5，在8位二进制补码中的表示为： 0000 0101 2.负数：通过取其绝对值的二进制反码（将所有1变为0，0变为1），然后再加1得到的。 例如，十进制正数5，在8位二进制补码中的表示为： 1111 1011

补码的优势 1.简化加法计算 2.无额外的零表示 3.溢出处理(保持循环不变性)

注:n+1位的二进制补码可以表示的范围：[-(2n), (2n-1)]
   n+1位的二进制原码范围：[-(2n-1), (2n-1)]

关于补码溢出的讨论：补码表示法的优点之一是它可以很容易地检测到溢出，并且对于加法运算，溢出只可能发生在正溢出（两个正数相加得到负数）或负溢出（两个负数相加得到正数）的情况下。

正溢出：当两个正数相加的结果超过了正数的最大表示范围时，就会发生正溢出。

负溢出：当两个负数相加的结果超过了负数的最小表示范围时，就会发生负溢出。

检测溢出：在补码表示法中，可以通过检查加法运算中的进位来检测溢出。如果两个正数相加时最高位（符号位）产生了进位，或者两个负数相加时最高位没有产生进位，那么就可以确定发生了溢出。

处理溢出：处理溢出的方法取决于特定的应用程序和编程环境。在某些情况下，程序员可能希望捕获溢出并采取相应的措施，如设置错误标志、抛出异常或采取其他错误处理机制。在其他情况下，溢出可能被视为未定义行为，可能导致不可预测的结果。

因为补码表示法具有以上优势：目前大多数现代计算机系统在进行数值的存储和运算时，普遍采用二进制补码表示法。对于整数运算来说，补码是主导的表示法。

值得注意的是，浮点数在计算机内部通常不是以补码形式存储的，而是遵循IEEE 754标准，该标准使用一种不同的编码方案（符号位、指数和尾数）来表示浮点数。

在进行算术运算和逻辑运算时，需要确保操作数的位数一致。

符号扩展（Sign Extension）是一种将较短位数的二进制数转换成较长位数二进制数的方法，同时保持数的数值不变。 在符号扩展中，我们观察原始数的最高有效位，即符号位，然后将其复制到新数的高位部分。 例如： 16位的二进制补码数 10000000 00000001拓展为32位：11111111 11111111 10000000 00000001 16位的二进制补码数 00000000 00000001拓展为32位：00000000 00000000 00000000 00000001

注：这种方法之所以正确，是因为二进制补码表示的正数实际上在左侧有无限多个0，而负数在左侧有无限多个1，只是为了适应硬件的位数宽度，数的前导位被隐藏了，符号扩展只是简单地恢复了其中一部分。